순간처짐과 장기처짐의 계산

안녕하세요. 윈트입니다.

오늘은 순간 처짐과 장기 처짐에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

순간 탄성 처짐의 계산(Calculation of Immediate Elastic Deflection)

 콘크리트 보에 하중이 작용하자마자 나타나는 처짐을 순간 처짐(immediate deflection)이라 한다. 하중이 보에서 제거되지 않고 지속 작용하게 되면 크리프와 건조 수축 때문에 추가적인 장기 처짐(sustained load deflection)이 나타나게 된다.

 탄성 처짐은 등분포 하중 w(또는 집중하중 P), 경간 L, 단면 2차 모멘트 I 그리고 탄성계수 E의 함수로 처짐은 ∆= f(wL/EI)와 같이 표현될 수 있다. 철근콘크리트 보의 즉시-탄성 처짐을 계산하기 위해서는 [그림 1]의 탄성-처짐 방정식을 이용해서 구하면 된다.

[그림 1] 탄성-처짐 방정식

 단순 지지가 된 보와 연속보에 대해서 구조기준(ACI)이 제시한 방법으로 계산한 순간 처짐과 실험으로 처짐의 자료가 [그림 2]에 비교되어 있다. [그림 2]에서 보면 계산으로 구한 순간 처짐과 실험에서 구한 순간 처짐 간의 차이는 ±20% 안에 들어오는 것을 알 수 있다.

[그림 2] 구조기준(ACI) 방법으로 계산한 순간처짐과 실험에 의해서 구한 처짐과의 비교

 

장기 처짐(Long term Deflections or Sustained Load Deflections)

 철근콘크리트 보의 처짐은 시간이 지남에 따라 크리프(creep)와 건조 수축(shrinkage) 때문에 증가하게 된다. 추가적인 처짐의 증가율은 시간이 지날수록 감소하며, 최종적으로 4~5년 뒤에는 순간 처짐의 2배에서 3배에 이르게 된다.

비대칭으로 보강철근이 배치된 철근콘크리트 보의 건조 수축은 일정하지 않은 기울기를 갖는 변형률 분포 때문에 건조 수축 곡률(shrinkage curvature, Φ)을 갖게 된다. 단철근 보의 곡률이 복철근 보보다 크게 나타나는데 이는 압축철근이 배치되지 않아 압축영역에서 건조 수축을 구속하지 않기 때문이다. 부재에서 보강철근이 인장영역에만 배치될 때 건조 수축 곡률은 연직하중이 일으키는 곡률과 같은 방향으로 나타나서 처짐을 증가시키게 된다. 또한 건조 수축이 콘크리트에 추가로 발생시키는 인장응력이 추가적인 균열을 발생시키게 된다.

지속적인 하중이 작용하게 되면 [그림 3]와 같이 콘크리트에는 크리프 변형률이 나타나고 이때 보의 곡률이 증가하여 처짐이 증가하게 된다. 휨 모멘트의 팔걸이가 조금 줄어들면서 철근력이 약간 증가하지만, 보통으로 보강된 단면에서는 이 증가는 거의 미미한 수준이 그치게 된다. 이때 동시에 [그림 3]와 같이 콘크리트의 압축영역이 약간 넓어지면서 콘크리트의 압축응력은 얼마간 감소하게 된다.

[그림 3] 변형률과 처짐에 미치는 크리프의 영향

압축철근이 배치되면 건조 수축과 크리프에 의한 추가적인 처짐을 상당히 줄일 수 있게 된다. 압축철근은 압축영역에서 건조 수축을 구속하여 건조 수축 곡률을 감소시키게 된다. 대칭 단면에 동일 면적의 철근을 인장과 압축영역에 배치하였다면 건조 수축 곡률은 0이 될 것이다. 일반적으로 비대칭 단면에서 보강철근의 도심과 환산 단면적의 도심이 일치하게 의한 건조 수축 곡률은 0이 된다. 압축철근은 또한 콘크리트 크리프 영향도 감소시키는데 이는 시간이 지남에 따라 콘크리트에 발생했던 압축변형률의 증가로 발생한 압축응력이 점진적으로 얼마간 압축철근으로 전달되어 콘크리트의 압축응력을 감소시키고 따라서 크리프 변형률도 감소하게 된다.

압축철근 이외에도 장기 처짐은 상대습도, 온도, 양생 조건, 하중이 작용할 때의 콘크리트의 재령과 하중의 지속 기간, 강도에 대한 응력의 비(지속 하중의 크기) 및 부재의 크기 등과 같은 여러 요소에 영향을 받는다. 이러한 이유로 장기 처짐의 계산은 대략 추정하여 계산하며 아무리 더 정확한 방법이라도 사용하중의 조건과 콘크리트의 특징을 정확히 알기 전에는 의미가 없을 것이다. 구조기준 4.3.1(5)(AC1 9.5.2.5)에서는 종합적인 해석에 의하지 않는 한 지속 하중이 작용할 때 1방향 횡 부재에서 건조 수축과 크리프에 의한 장기 처짐을 추정하는 식으로 1971년 Branson이 제시한 탄성 처짐에 아래의 계수를 곱해서 구하는 [식 1]을 도입하였다.

[식 1] 탄성 처짐 계수

여기에서 ρ'= As'/bd는 압축철근비로 단순 또는 연속경간일 때 보 중앙에서, 캔틸레버일 때 받침부에서 구한 값으로 한다. ξ(‘xi’) = 지속 하중에 대한 시간 경과 계수로 [표 1]과 [그림 4]에 제시되어 있다. 시간에 대한 시간 경과 계수 ξ의 변화를 살펴보면 3개월에 장기 처짐의 50%가 발생하는 것을 알 수 있다. 만약에 압축철근이 배치되지 않아 ρ' = 0이면 λ∆= ξ 가 되고, 이 경우에 최대 장기 처짐∆ₐ = 2∆i가 된다.

[표 1] 시간 경과 계수, ξ

[그림 4] 시간 경과 계수, ξ(xi)

따라서 총 장기 처짐은 [식 2]으로 구할 수 있다.

[식 2] 장기 처짐 계산

여기에서 ∆i= 순간-탄성 처짐, ∆ₐ = λ∆(∆i) sus = 장기 처짐, (∆i) sus = 지속 하중(sustained load)이 일으키는 순간 처짐이다.

[식 2]에서 보는 바와 같이 계수 λ∆는 지속 하중(sustained load)이 일으키는 순간 처짐 부분에만 곱해져야 한다. 따라서 전체의 고정하중이 여기에 속하며, 활하중 중에서 지속 하중으로 얼마나 작용하느냐는 하중의 지속 기간에 좌우되게 된다. 예를 들어서 아파트의 사용 활하중에서 오직 20% 정도만이 여기에 속하지만, 창고에서는 80% 이상의 활하중을 지속 하중으로 고려하여야 할 것이다.

 

[식 2]는 평균 습도 조건에서 예상한 장기 처짐으로 만약에 부재가 물에 연속적으로 잠기거나 습한 환경에 있게 되면 건조 수축이 일어나지 않아서 추가적인 처짐은 매우 작게 될 것이다. 이에 반해서 덥고 건조한 기후의 구조물은 건조 수축과 크리프가 많이 발생해서 구조기준에서 예상한 장기 처짐의 2배에 이르는 경우도 있을 수 있다.

 고강도 콘크리트 부재에 관한 연구에서 보면 크리프 변형률이 감소하여 지속 하중에 의해 처짐은 저강도 콘크리트 부재에 비해서 상당히 감소하여 Cornell 대학의 Nilson은 fck ≥ 42 MPa인 경우에 [식 1]의 ξ와 ρ'에 아래와 같이 표현되는 계수 μ를 곱하는 방법을 제시하였다.